Τρίτη, Απριλίου 07, 2015

Το βαρυτικό πρόβλημα των δύο κέντρων

Που μπορεί να σε φτάσει η απορία ενός μαθητή: μετά τους προβληματισμούς μου σχετικά με τις τροχιές στο πρόβλημα των δύο σωμάτων όταν βαρυτική δύναμη δεν ακολουθεί επακριβώς το νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου (βλ. προηγούμενη ανάρτηση), ασχολήθηκα στον ελεύθερο χρόνο μου γενικά με προσομοιώσεις βαρυτικών συστημάτων, ανακαλύπτοντας κυρίως πράγματα ήδη γνωστά σε όσους ασχολούνται με το αντικείμενο. Καταχράστηκα μάλιστα τον υπολογιστικό μου χρόνο σε ένα μεγάλο υπολογιστή του πανεπιστημίου (ελπίζω ο διαχειριστής του συστήματος να μη με διαβάζει) και έτρεξα μια προσομοίωση ενός μίνι ηλιακού συστήματος, υπολογίζοντας τροχιές, εκθέτες Lyapunov (μέτρο της αστάθειας ενός συστήματος) και την εξάρτησή τους από κάποιες παραμέτρους, μεταξύ των οποίων και η μορφή του νόμου της βαρυτικής έλξης. Επιπλέον, ασχολήθηκα και με άλλα δυναμικά δύο κέντρων χωρίς όμως τον απειρισμό της βαρυτικής δύναμης στο κέντρο, όπως για παράδειγμα δύο πηγάδια δυναμικού της μορφής
.
Τα αποτελέσματα είναι ενδιαφέροντα και κάποια από αυτά πρωτότυπα και θα τα αναφέρω σε άλλη δημοσίευση. Εδώ θα γράψω λίγα λόγια για το πρώτο βήμα στη διαδρομή από το πρόβλημα των δύο σωμάτων σε εκείνο (το απείρως πολυπλοκότερο) των τριών: το πρόβλημα των δύο κέντρων, χωρίς να σκοπεύω να γράψω κάτι περισσότερο σε σχέση με την υπάρχουσα βιβλιογραφία. Απλώς θα τα γράψω πιο περιγραφικά, κατανοητότερα για το μη ειδικό και πιο κοντά στον τρόπο που τα κατάλαβα εγώ.

Αντί λοιπόν να έχουμε ένα σωματίδιο να αλληλεπιδρά βαρυτικά με ένα άλλο, έχουμε ένα σωματίδιο να αλληλεπιδρά με δύο άλλα, τα οποία όμως θεωρούμε ακίνητα. Αδύνατο βέβαια να πραγματοποιηθεί κάτι τέτοιο στη φύση (δύο σώματα που έλκονται βαρυτικά είναι αδύνατο να μένουν ακίνητα το ένα ως προς το άλλο) αλλά είναι ένα πρώτο βήμα αύξησης της πολυπλοκότητας  σε σχέση με το πρόβλημα των δύο σωμάτων, και η αύξηση είναι πολύ μεγάλη! Η προσθήκη ενός ακόμη σώματος, έστω και ακίνητου, αυξάνει δραματικά την πολυπλοκότητα του προβλήματος, παρότι το πρόβλημα εξακολουθεί να είναι ολοκληρώσιμο.

Ιστορικά, το πρόβλημα των δύο κέντρων μελετήθηκε αρχικά από τον Euler γύρω στο 1760, με την ελπίδα να αποτελέσει ένα ενδιάμεσο βήμα από το πρόβλημα των δύο σωμάτων σε εκείνο των τριών. Το μελέτησε σε δύο διαστάσεις και απέδειξε ότι με τη χρήση ελλειπτικών συντεταγμένων το πρόβλημα διαχωρίζεται (δηλαδή σπάει σε δύο προβλήματα με τους μισούς βαθμούς ελευθερίας το καθένα) και είναι ολοκληρώσιμο (δηλαδή έχει δύο ανεξάρτητες σταθερές συναρτήσεις της θέσης και των ορμής). Οι λύσεις εκφράζονται αναλυτικά με τη βοήθεια των ελλειπτικών συναρτήσεων. Αργότερα, τον 19ο αιώνα, o Jacobi απέδειξε τη διαχωρισιμότητα και την ολοκληρωσιμότητα σε τρεις διαστάσεις. Στο εξαιρετικό βιβλίο του Whittaker (A treatise on the analytical dynamics of particles and rigid bodies), το οποίο μπορεί πλέον να βρει κανείς ελεύθερα στο Internet Archive, αναλύεται το πρόβλημα των δύο κέντρων μέχρι το σημείο όπου οι λύσεις εκφράζονται με τη βοήθεια των ελλειπτικών συναρτήσεων. Από το σημείο όμως αυτό μέχρι το να περιγραφούν και να ταξινομηθούν τα διάφορα ήδη τροχιών η απόσταση είναι πραγματικά πολύ μεγάλη! Δημοσιεύσεις σχετικά με τις διάφορες τροχιές του -κατά τα άλλα απλού και ολοκληρώσιμου- συστήματος των δύο κέντρων έχουν γίνει ακόμα και την τελευταία δεκαετία:
Varvoglis, H., Vozikis, C.H., and Wodnar, K., The Two Fixed Centers: An Exceptional Integrable System, Cel. Mech. Dyn. Astron., 88 (2004), 343-356.
Vaalkens H., Dullin H.R., and Richter P.H., The problem of two fixed centers: bifurcations, actions, monodromy, Physica D 196 (2004), 265-310.

Τυπικές τροχιές

Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι έχουμε ένα σημειακό σώμα μάζας m που βρίσκεται στον άξονα x, και βάλλεται όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, με ταχύτητα κάθετη στον άξονα x. Το σώμα βρίσκεται υπό τη βαρυτική επίδραση δύο άλλων ακίνητων σημειακών σωμάτων μάζας M το καθένα όπως φαίνεται στο σχήμα.

Αν υπήρχε μόνο ένα από τα σώματα μάζας M, ξέρουμε όλοι ότι για κάθε αρχική ταχύτητα του σώματος μάζας m, η τροχιά θα ήταν κωνική τομή. Αν περιοριστούμε στις δέσμιες τροχιές (δηλαδή εκείνες που δε διαφεύγουν στο άπειρο), η τυπική τροχιά του συστήματος είναι η έλλειψη, με το σώμα μάζας M να βρίσκεται σε μία από τις δύο εστίες αναλόγως με την αρχική ταχύτητα. Τι γίνεται όταν προστεθεί και το δεύτερο σώμα;

Οι τυπικές τροχιές λοιπόν τότε είναι τροχιές που δεν κλείνουν και γεμίζουν πυκνά μια περιοχή του χώρου. Πυκνά σημαίνει ότι κάποια στιγμή θα περάσουν οσοδήποτε κοντά από οποιοδήποτε σημείο της περιοχής. Το τι σχήμα θα έχει αυτή περιοχή εξαρτάται από την αρχική ταχύτητα, ή πιο αυστηρά από τις τιμές των ολοκληρωμάτων της κίνησης (ποιά είναι αυτά θα τα δούμε στη συνέχεια). Στα παρακάτω σχήματα φαίνονται μια τροχιά από κάθε είδος. Οι αρχικές ταχύτητες είναι 0.8, 1.2 και 1.75 αντίστοιχα. Η αρχική θέση του σωματιδίου είναι x=1, ενώ οι δύο ακίνητες μάζες βρίσκονται στα σημεία με x=-0.5 και x=0.5. Θεωρούμε επίσης G=M=m=1.



Αυξανομένης της ενέργειας έχουμε τρία τυπικά είδη τροχιών:
  1. Τροχιές που γεμίζουν πυκνά μια περιοχή που περιλαμβάνει ένα από τα δύο ακίνητα σώματα. Αποδεικνύεται ότι η περιοχή αυτή περιορίζεται από τμήματα μιας έλλειψης και μιας υπερβολής. Στο σχήμα εδώ, δεξιά είναι η έλλειψη και αριστερά η υπερβολή.
  2. Τροχιές που γεμίζουν πυκνά μια περιοχή που περιλαμβάνει και τα δύο ακίνητα σώματα. Αποδεικνύεται ότι η περιοχή αυτή περιορίζεται από μία έλλειψη.
  3. Τροχιές που γεμίζουν πυκνά έναν δακτύλιο ο οποίος δεν περιλαμβάνει κανένα από τα δύο σώματα. Αποδεικνύεται ότι ο δακτύλιος αυτός βρίσκεται ανάμεσα σε δύο ελλείψεις.

Ένα έμπειρο μάτι εύκολα παρατηρεί ότι οι τροχιές μοιάζουμε με εικόνες Lissajous, δηλαδή με τις εικόνες που λαμβάνουμε από τη σύνθεση δύο ταλαντώσεων με άρρητο λόγο συχνοτήτων σε διευθύνσεις που σχηματίζουν μεταξύ τους κάποια γωνία. Σε ένα διαχωρίσιμο σύστημα η κατάσταση είναι ανάλογη με τις εικόνες Lissajous: ο διαχωρισμός των μεταβλητών ουσιαστικά μετατρέπει το σύστημά μας σε μία σύνθεση δύο ανεξάρτητων συστημάτων. Το πρόβλημα των δύο κέντρων είναι διαχωρίσιμο σε ελλειπτικές συντεταγμένες, γι΄αυτό και τα σύνορα των περιοχών όπου κινείται το σωματίδιο είναι ελλείψεις ή υπερβολές.

Ελλειπτικές τροχιές

Υπάρχουν ελλειπτικές τροχιές με εστίες τις δύο ακίνητες μάζες, όπως εκείνες στο πρόβλημα των δύο σωμάτων; Η απάντηση είναι ναι, και μπορούν να βρεθούν σχετικά εύκολα. Αν υπήρχε μόνο το δεξί σώμα στο x=α, ποιά θα πρέπει να ήταν η αρχική ταχύτητα ώστε το σωματίδιο να διαγράψει έλλειψη με εστίες στα σημεία x=α και x=-α (βλ. σχήμα);
Ξέρουμε ότι η εκκεντρότητα ισούται με τη διαφορά αφηλίου-περιηλίου δια το άθροισμα αφηλίου-περιηλίου:
Από τη σχήμα είναι φανερό ότι
οπότε 

Η εκκεντότητα όμως συνδέεται με την αρχική θέση και ταχύτητα σύμφωνα με τη σχέση:
όπου Ε είναι η ολική ενέργεια:
και L η στροφορμή:
Συνδυάζοντας τις τρεις τελευταίες εξισώσεις και λύνοντας ως προς την αρχική ταχύτητα παίρνουμε:

και αντικαθιστώντας τις τιμές των α και ro παίρνουμε 

Αν υπήρχε μόνο το αριστερό σώμα στο x=-α, ποιά θα πρέπει να ήταν τότε η αρχική ταχύτητα ώστε το σωματίδιο να διαγράψει έλλειψη με εστίες στα σημεία x=α και x=-α (βλ. σχήμα);

Τότε η εκκεντότητα θα ήταν ίδια, ενώ η ολική ενέργεια και η στροφορμή θα ήταν αντίστοιχα:
και λύνοντας με τον ίδιο τρόπο όπως πριν ως προς την αρχική ταχύτητα παίρνουμε:

και αντικαθιστώντας τις τιμές των α και ro παίρνουμε:
Βλέπουμε λοιπόν ότι η ίδια έλλειψη είναι τροχιά του συστήματος με μόνο το δεξί ακίνητο σώμα όσο και με μόνο το αριστερό ακίνητο σώμα, με διαφορετικές όμως αρχικές ταχύτητες. Είναι η έλλειψη αυτή τροχιά του συστήματος και με τα δύο ακίνητα σώματα; Λογικό είναι να υποθέσουμε πως ναι. Και αν ναι με ποιά αρχική ταχύτητα;

Εδώ έρχεται προς βοήθειά μας το θεώρημα του Bonnet, το οποίο αγνοούσα και το έμαθα μέσα από τις σελίδες του Whittaker. Μας λέει το εξής:
Αν μια τροχιά στο χώρο των θέσεων είναι λύση ενός συστήματος με δυναμικό V1 και σε κάποιο σημείο της A η ταχύτητα είναι uκαι η ίδια τροχιά στο χώρο των θέσεων είναι λύση ενός συστήματος με δυναμικό V2 και στο ίδιο σημείο Α η ταχύτητά της είναι u2, τότε η ίδια αυτή τροχιά είναι λύση του συστήματος με δυναμικό V1V2 με αρχική ταχύτητα στο σημείο Α:
Έτσι λοιπόν βρίσκουμε ότι ξεκινώντας με αρχική ταχύτητα

βρισκόμαστε πάνω σε μια ελλειπτική τροχιά στο πρόβλημα των δύο κέντρων. Προφανώς η τροχιά αυτή μπορεί να διαγραφεί και κατά την αντίστροφη φορά, επομένως για κάθε αρχική θέση ro έχουμε δύο περιοδικές τροχιές.

Λίγα λόγια για το θεώρημα Bonnet:
Η απόδειξη του θεωρήματος υπάρχει στο βιβλίο του Whittaker (σελίδα 95) αλλά και στο αντίστοιχο λήμμα της Wikipedia. Μπορούμε να το κατανοήσουμε πολύ απλά ως εξής. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε δύο κεντρικά πεδία δυνάμεων F1(r) και F2(r) που υποστηρίζουν την ίδια κυκλική τροχιά ακτίνας R με ταχύτητες u1 και u2 αντίστοιχα. Για την κυκλική τροχιά στο πεδίο F1(r), αφού η F1 παίζει το ρόλο της κεντρομόλου δύναμης, ισχύει :
Ομοίως στο πεδίο F2(r):
Αθροίζοντας τις παραπάνω παίρνουμε:
Δηλαδή η κυκλική τροχιά ακτίνας R είναι τροχιά και στο συνδυασμένο πεδίο των F1 και F2 με ταχύτητα ίση με
Εννοείται ότι το θεώρημα του Bonnet γενικεύεται για n πεδία δυνάμεων.

Άλλες περιοδικές τροχιές

Ως τώρα έχουμε βρει για κάθε αρχική θέση δύο περιοδικές τροχιές: μια έλλειψη που διαγράφεται είτε δεξιόστροφα είτε αριστερόστροφα. Επιπλέον, αν το σωματίδιο ξεκινήσει με αρχική θέση και ταχύτητα πάνω στον άξονα y, θα παραμείνει σε αυτόν εκτελώντας ταλάντωση. Αυτό θα συμβεί για οποιαδήποτε αρχική ταχύτητα, επομένως έχουμε μια οικογένεια άπειρων περιοδικών τροχιών στον άξονα y. Σχεδόν προφανές ίσως, καθώς λόγω συμμετρίας, όταν το σωματίδιο βρίσκεται στον άξονα y, η συνισταμένη δύναμη βρίσκεται επίσης σε αυτό τον άξονα. Μπορούμε όμως να πλησιάσουμε την τροχιά (τροχιές ακριβέστερα) αυτή με τις αρχικές συνθήκες που έχουμε διαλέξει; Η απάντηση είναι πως ναι. Τεχνικά: οι ευσταθείς πολλαπλότητες των τροχιών του άξονα y εκτείνονται στην περιοχή δεξιά και αριστερά των ακίνητων σωμάτων καθιστώντας τις τροχιές αυτές προσβάσιμες και μπορούμε να τις ακολουθήσουμε για αρκετές ταλαντώσεις. Ας δούμε δύο χαρακτηριστικά σχήματα. Πρώτα, ας δούμε μια πραγματικά αξιοσημείωτη τροχιά που κάνει το εξής: ενώ ξεκινά στα δεξιά του δεξιού ακίνητου σώματος, το κινούμενο σωματίδιο καταλήγει τελικά να παγιδευτεί στο αριστερό! Στην πορεία διατρέχει πολύ κοντά στον άξονα y για πολλές ταλαντώσεις. Η τροχιά αυτή φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.

Επιπλέον, όταν η αρχική ταχύτητα είναι στο όριο της μετάβασης από τις τροχιές του τύπου 1 (περιορισμένες στη γειτονιά ενός ακίνητο σώματος) σε εκείνες του τύπου 2 (καλύπτουν πυκνά περιοχή που περιλαμβάνει και τα δύο ακίνητα σώματα), οι τροχιές και πάλι διατρέχουν για αρκετές ταλαντώσεις οσοδήποτε κοντά στον άξονα y. Μία τέτοια τροχιά φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.

Υπάρχουν άλλες περιοδικές τροχιές; Η απάντηση είναι ναι και είναι άπειρες το πλήθος! Όπως με τις εικόνες Lissajous όπου όταν ο λόγος των συχνοτήτων είναι ρητός έχουμε κλειστές τροχιές, έτσι και στο διαχωρίσιμο σύστημά μας, όταν ο λόγος των συχνοτήτων των δύο υποσυστημάτων είναι ρητός, έχουμε περιοδικές τροχιές.

Στην περίπτωση λοιπόν που οι συχνότητες είναι ίσες έχουμε τις δύο ελλείψεις που βρήκαμε. Η αμέσως ανώτερης τάξης τροχιά είναι μια τροχιά σχήματος 8, όπως φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.

Υπάρχουν άπειρες ακόμα ανώτερης τάξης περιοδικές τροχιές, όπως εκείνες που φαίνονται στα ακόλουθα σχήματα. Επιπλέον, υπάρχουν σχεδόν κλειστές τροχιές, όπου ο λόγος συχνοτήτων είναι κοντά σε ακέραια τιμή, οι οποίες γεμίζουν πυκνά το διαθέσιμο χώρο. Κάποιες αντιπροσωπευτικές περιοδικές τροχιές φαίνονται στα ακόλουθα σχήματα.


Ειδικά η τελευταία είναι μια πολύ αξιοσημείωτη τροχιά, η οποία περιλαμβάνει δύο σημεία όπου το σωματίδιο σταματάει στιγμιαία! Αυτά είναι το ανώτερο και το κατώτερο σημείο της τροχιάς, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σωματίδιο φτάνει εκεί με μηδενική ταχύτητα και επιστρέφει ακολουθώντας την ίδια τροχιά προς τα πίσω!
Και μια αντιπροσωπειτική σχεδόν κλειστή τροχιά στο σχήμα που ακολουθεί:


Σταθερές της κίνησης

Όπως είπαμε και στην αρχή, το σύστημα των δύο ακίνητων κέντρων είναι ολοκληρώσιμο τόσο στην επίπεδή του εκδοχή (αυτή που μελετάμε εδώ) όσο και στις τρεις διαστάσεις. Στο σύστημα που μελετάμε εδώ, έχουμε δύο σταθερές (ολοκληρώματα) της κίνησης. Η πρώτη είναι η προφανής: πρόκειται για την ολική ενέργεια, αφού η δύναμη προέρχεται από συνάρτηση δυναμικού. Η δεύτερη, και λιγότερο προφανής, είναι η
γνωστή και σαν ολοκλήρωμα Erikson - Hill, που έχει διαστάσεις τετραγώνου στροφορμής. L1 και L2 είναι οι στροφορμές ως προς καθένα από τα δύο κέντρα και οι γωνίες θ1 και θ2 ορίζονται όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Για α να τείνει στο 0, το σύστημά μας μεταπίπτει σε εκείνο του ενός κέντρου και το ολοκλήρωμα της κίνησης Ω τείνει στο τετράγωνο της στροφορμής, που όπως γνωρίζουμε είναι ολοκλήρωμα της κίνησης για το σύστημα του ενός κέντρου.

Τροχιές σύγκρουσης

Στο πρόβλημα του ενός κέντρου (ή των δύο σωμάτων, το ίδιο είναι ουσιαστικά), σε ότι αφορά την κρούση του κινούμενου σωματιδίου με το ακίνητο, τα πράγματα είναι απλά: οι τιμές της ολικής ενέργειας για τις οποίες θα έχουμε σύγκρουση -θεωρώντας ότι το ακίνητο σώμα έχει πεπερασμένες διαστάσεις και δεν είναι ένα σημείο- βρίσκονται σε ένα περιορισμένο διάστημα τιμών. Ομοίως και ο χρόνος στον οποίο θα συμβεί η κρούση βρίσκεται και αυτός σε ένα πεπερασμένο διάστημα τιμών. Τόσο απλά όσο στο ακόλουθο σχήμα, όπου ένα σωματίδιο ξεκινά με αρχική ταχύτητα uo από ένα σημείο Α, και αφού διαγράψει τμήμα έλλειψης, πέφτει πάνω στο ακίνητο σώμα, του οποίου το κέντρο βρίσκεται πάνω σε μία εστία της έλλειψης.
Αν το μέτρο της αρχικής ταχύτητας αυξηθεί πέρα από μια τιμή, θα έχουμε ελλειπτική τροχιά χωρίς σύγκρουση με το ακίνητο σώμα.

Στην περίπτωση των δύο κέντρων όμως τα πράγματα είναι πολύ διαφορετικά, όπως μπορεί κανείς εύκολα να καταλάβει παρατηρώντας τα σχήματα των τροχιών που γεμίζουν πυκνά περιοχές του χώρου. Οι τροχιές των ειδών 1 και 2 (εκείνες δηλαδή που γεμίζουν πυκνά περιοχές που περιλαμβάνουν το ένα ή και τα δύο ακίνητα σώματα αντίστοιχα), περνούν οσοδήποτε κοντά στο ελκτικό κέντρο. Αυτό σημαίνει ότι όλες οι τροχιές, αργά η γρήγορα και ανεξάρτητα από τις διαστάσεις των ακίνητων σωμάτων, θα συγκρουστούν με κάποιο ακίνητο σώμα. Όσο μικρότερες οι διαστάσεις των ακίνητων σωμάτων, τόσο μεγαλύτεροι θα είναι και οι τυπικοί χρόνοι κρούσης, αλλά το γεγονός της κρούσης είναι μια βεβαιότητα που σίγουρα θα συμβεί αν περιμένουμε αρκετά.

Ας ξεκινήσουμε λοιπόν από το σημείο (0,1) και ας μεταβάλλουμε την αρχική ταχύτητα uo έτσι ώστε να έχουμε τροχιές των τύπων 1 και 2, και ας δούμε πόσος χρόνος θα μεσολαβήσει μέχρι να συγκρουστεί το κινούμενο σώμα με κάποιο από τα ακίνητα. Θεωρούμε την ακτίνα του ακίνητου σώματος ίση με 0.1 ενώ εκείνη του κινούμενου σώματος τη θεωρούμε αμελητέα. Τα αποτέλεσμα φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί.
Ο χρόνος παρουσιάζει ασυνέχειες (τα "σκαλάκια" στη γραφική παράσταση) και τρεις έντονες κορυφές. Οι δύο πρώτες αριστερά που είναι και στενότερες αντιστοιχούν σε σχεδόν κλειστές τροχιές που αργούν να επισκεφθούν τη γειτονιά του ελκτικού κέντρου. Η αριστερή είναι τροχιά του τύπου 1 ("εξερευνά" μια περιοχή γύρω από το ένα κέντρο) ενώ η λίγο δεξιότερη είναι τροχιά του τύπου 2 ("εξερευνά" μια περιοχή που περιλαμβάνει και τα δύο κέντρα). Οι τροχιές αυτές φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.

Γενικά, στην περιοχή εκείνη των ταχυτήτων συμβαίνει και η μετάβαση από τροχιές του τύπου 1 σε τροχιές του τύπου 2. Αυτό φαίνεται στο παρακάτω σχήμα όπου φαίνεται με ποιό ακίνητο σώμα γίνεται η κρούση σα συνάρτηση της αρχικής ταχύτητας (Α σημαίνει αριστερό σώμα, Δ σημαίνει δεξί).

Βλέπουμε ότι από την ταχύτητα όπου γίνεται η μετάβαση από τροχιές του τύπου 1 σε εκείνες του τύπου 2, το κινούμενο σώμα μπορεί για ένα εύρος ταχυτήτων να συγκρουστεί με οποιοδήποτε από τα ακίνητα σώματα και μάλιστα με μεγάλη ευαισθησία στις αρχικές σύνθήκες: εκεί όπου η γραφική παράσταση μοιάζει με βούρτσα, με πολύ μικρές αλλαγές (αλλά όχι οσοδήποτε μικρές) στην αρχική ταχύτητα αλλάζει το σώμα με το οποίο θα γίνει η κρούση.

Σε ότι αφορά τη δεύτερη, πλατύτερη και δεξιότερη κορυφή, αυτή αντιστοιχεί στην περιοδική τροχιά σχήματος 8: όσο πιο κοντά σε αυτή ξεκινά το κινούμενο σώμα, τόσο περισσότερο χρόνο χρειάζεται για να "ξεφύγει" από εκείνη και να συγκρουστεί με κάποιο από τα ακίνητα.


Μπορεί να γίνει πιο πολύπλοκο;

Η απάντηση στο ερώτημα είναι πως ναι, και μάλιστα πολύ εύκολα. Αρκεί να αλλάξουμε λίγο τον εκθέτη στο νόμο της δύναμης, δηλαδή πχ από 2 να γίνει 2.02 (βλ, προηγούμενη ανάρτηση για ένα σχετικό προβληματισμό). Τότε η σταθερά της κίνησης Ω πάυει να υπάρχει και το σύστημα γίνεται αυτό που στη φυσική λέμε χαοτικό. Στην περίπτωση αυτή, αν κανείς δει τη γραφική παράσταση χρόνου κρούσης δε θα καταλάβει και μεγάλη διαφορά σε σύγκριση με το αρχικό σύστημα. Αν μεγενθύνει όμως σε συγκεκριμένα σημεία θα καταλάβει τη διαφορά: μεγενθύνοντας συνεχώς παίρνουμε συνέχεια γραφικές παραστάσεις με δομή. Όσο και να μεγενθύνουμε, θα βλέπουμε μια πολύπλοκη δομή, όπως στο ακόλουθο σχήμα.
Παρατηρήστε στο παραπάνω σχήμα την κλίμακα στον άξονα των x: η περιοχή είναι πολύ μικρή καθώς το αρχικό από το τελικό σημείο διαφέρουν στο 5ο δεκαδικό ψηφίο. Μεγενθύνοντας δηλαδή σε καθεμιά συστάδα κορυφών, θα δούμε άλλη μία τέτοια συστάδα, κι αυτό θα συνεχίζεται επ' άπειρο! Τεχνικά, λέμε πως ο χρόνος κρούσης παρουσιάζει ανωμαλίες σε ένα μορφοκλασματικό (fractal) σύνολο πάνω στη γραμμή των αρχικών συνθηκών. Οι ανωμαλίες αυτές οφείλονται στην τομή της γραμμής των αρχικών συνθηκών με τις ευσταθείς πολλαπλότητες των (απείρων σε πλήθος) ασταθών περιοδικών τροχιών. Και μπορούμε να πούμε πάρα πολλά ακόμα πάνω σε αυτό. Γενικά, η αλλαγή του εκθέτη (και γενικότερα της μορφής) του νόμου της δύναμης, επηρεάζει σημαντικά την ευστάθεια βαρυτικών συστημάτων πολλών σωμάτων, και αυτό είναι που ψάχνω περισσότερο αυτό τον καιρό. Αυτό πιθανόν θα είναι το αντικείμενο κάποιας μελλοντικής ανάρτησης.

Επίλογος

Το πρόβλημα των δύο κέντρων είναι ένα πραγματικά εξαιρετικό παράδειγμα με το οποίο μπορεί κανείς να κατανοήσει κάτι πολύ βασικό στη φυσική: ένα απλό σύστημα (όπως αυτό του ενός κέντρου) συν ένα άλλο απλό σύστημα, δε μας κάνουν κάτι απλό ή έστω κάτι 2 φορές πιο σύνθετο. Συνήθως μας κάνουν κάτι απείρως πιο πολύπλοκο, όπως το πρόβλημα των δύο κέντρων. Κάτι επίσης βασικό που μαθαίνουμε είναι ότι διαχωρίσιμο, ολοκληρώσιμο και αναλυτικά επιλύσιμο σύστημα δε σημαίνει απαραίτητα και τετριμμένο. Το πρόβλημα των δύο κέντρων είναι ένα διαχωρίσιμο ολοκληρώσιμο και αναλυτικά επιλύσιμο σύστημα με δύο βαθμούς ελευθερίας, το οποίο όμως παρουσιάζει εξαιρετικά πλούσια συμπεριφορά, η οποία πήρε δεκαετίες για να εξερευνηθεί στην ολότητά της. Και επιπλέον, με μία μικρή αλλαγή στο νόμο της δύναμης, "σπάει" η ολοκληρωσιμότητα και το σύστημα γίνεται χαοτικό.

1 σχόλιο:

Vagelford είπε...

Υπάρχει και μια άλλη ενδιαφέρουσα πτυχή στο πρόβλημα του Euler και αυτή είναι η σχέση που φαίνεται να έχει με τη λύση του Kerr στη γενική σχετικότητα.


T. A. Apostolatos, G. Pappas, and K. Chatziioannou, J.Phys.Conf.Ser. 453 (2013) 012001, "A Newtonian problem as an insightful tool for the behavior of gravitational-wave sources".

K. Glampedakis, T.A. Apostolatos, Class. Quantum Grav. 30 (2013) 055006, "The separable analogue of Kerr in Newtonian gravity".

και υπάρχουν και αυτή η δουλειά που σχετίζεται περισσότερο με το θέμα της ολοκληρωσιμότητας,

C. Markakis, MNRAS 441 (2014) 2974.