Πειράματα με ένα GPS, μέρος ΙΙΙ: καταρρίπτοντας το μύθο της "βαρυτικής ανωμαλίας" της Πεντέλης

Όπως έγραψα και στην προηγούμενη ανάρτηση, στις πλαγιές της Πεντέλης, στο δρόμο που οδηγεί από την Παλαιά Πεντέλη στον Άγιο Πέτρο, σε υψόμετρο περίπου 700 μ υπάρχει ένας δρόμος που από την κατασκευή του στα τέλη της δεκαετίας του '70 τον ακολουθεί μια φήμη: σε κάποιο τμήμα του μήκους περίπου 250 μέτρων κι ενώ φαίνεται να είναι ανηφορικός, τα οχήματα συμπεριφέρονται ως να ήταν κατηφορικός. Την "ανωμαλία" αυτή την είχα παρατηρήσει κι εγώ πριν κάποια χρόνια ποδηλατώντας με κατεύθυνση από τη Νέα Μάκρη προς την Παλιά Πεντέλη: σε ένα σημείο -αμέσως μετά την πηγή στη θέση Πουρνάρα- ενώ ο δρόμος φαίνεται να ανηφορίζει, το ποδήλατο κέρδιζε ταχύτητα χωρίς να κάνω πετάλι. Αργότερα το παρατήρησα και στην αντίθετη κατεύθυνση (αν και με λιγότερη ένταση): ο δρόμος φαίνεται ελαφρά κατηφορικός, παρόλα αυτά όμως αν δεν κάνεις πετάλι χάνεις ταχύτητα. Αναφέρομαι συγκεκριμένα στο ποδήλατο γιατί με αυτό είναι πολύ ευκολότερο να αντιληφθεί κανείς το φαινόμενο σε σύγκριση με το αυτοκίνητο.

Με μια αναζήτηση που έκανα στο διαδίκτυο για το φαινόμενο, βρήκα ότι η ύπαρξη του αναφέρεται (και αναπαράγεται) σε πολλές ιστοσελίδες. Παρά τις πολλές αναφορές σε "βαρυτικές ανωμαλίες" και μεταφυσικά φαινόμενα, δεν υπάρχει δημοσιευμένη στο διαδίκτυο καμία εμπεριστατωμένη μελέτη που να επιβεβαιώνει ή να απορρίπτει την ύπαρξη ή μη βαρυτικής ανωμαλίας, αν και πιστεύω ότι σίγουρα έχουν υπάρξει κάποιες τέτοιες μελέτες. Ούτε καν η ακριβής θέση του φαινομένου δεν προσδιορίζεται και υποθέτω ότι οι περισσότεροι που αναφέρονται στο φαινόμενο ούτε που έχουν πατήσει ποτέ στο σημείο.

Έτσι λοιπόν, την ηλιόλουστη Κυριακή 13/1/2013, ξεκινήσαμε με το φίλο και συνοδοιπόρο Λάζαρο για τον εντοπισμό και τη μελέτη του φαινομένου. Ο Λάζαρος έβαλε το αυτοκίνητο και το ποδήλατο, ένα σπαστό Dahon, κι εγώ το GPS, ένα Garmin Dakota 10. Παρκάραμε το αυτοκίνητο στην πηγή στη θέση Πουρνάρα (λόγω Κυριακής είχε αρκετό κόσμο) και ακολουθήσαμε το δρόμο προς την Παλιά Πεντέλη. Στο σημείο που είναι η πηγή, ο δρόμος κάνει μια απότομη αριστερή στροφή. Στο τελείωμα της στροφής, αμέσως μετά την πηγή, αρχίζει το φαινόμενο: ο δρόμος φαίνεται αναμφίβολα ανηφορικός αλλά αν ξεκινήσουμε με πολύ μικρή ταχύτητα, το ποδήλατο επιταχύνει για ένα διάστημα περίπου 250 μέτρα. Μετά από αυτά τα 250 μέτρα, ο δρόμος γίνεται ανηφορικός οπότε σταδιακά χάνουμε ταχύτητα. Στην αντίστροφη διαδρομή, ο δρόμος φαίνεται κατηφορικός αλλά χρειάζεται να κάνουμε πετάλι για να διατηρήσουμε μια σταθερή ταχύτητα. Στον παρακάτω χάρτη φαίνεται η ακριβής θέση του φαινομένου. Κάνοντας κλικ εδώ μπορείτε να κατεβάσετε και το αντίστοιχο αρχείο kmz.

Κοιτώντας την διαδρομή από το σημείο στο χάρτη που σημειώνεται ως ΑΡΧΗ, βλέπουμε αυτό που φαίνεται στις παρακάτω εικόνες:

Η "βαρυτική ανηφόρα" της Πεντέλης. Φαίνεται ανηφόρα, συμπεριφέτεται ως κατηφόρα. Τί είναι τελικά;

  Στις εικόνες αυτές, και ιδιαίτερα στην πρώτη, φαίνεται να έχουμε να κάνουμε με ένα δρόμο που στην αρχή είναι ελαφρώς ανηφορικός και στη συνέχεια ανηφορίζει πιο έντονα και κάνει μια δεξιά στροφή. Αν όμως αφεθούμε χωρίς να κάνουμε πετάλι από το σημείο που πήραμε τις φωτογραφίες, αντί να σταματήσουμε, ανεβαίνουμε τον "ανήφορο" ως να ήταν κατήφορος. Το φαινόμενο αυτό έχει παρατηρηθεί από την εποχή της κατασκευής του δρόμου και έχει από πολλούς αποδίδεται σε βαρυτική ανωμαλία.

Τι εννοούμε όμως όταν λέμε βαρυτική ανωμαλία; Βαρυτική ανωμαλία έχουμε όταν λόγω μιας σημαντικής ανοιμοιομορφίας της κατανομής της μάζας στο εσωτερικό της γης, η επιτάχυνση της βαρύτητας έχει σημαντικά διαφορετικό μέτρο ή/και κατεύθυνση από εκείνα που προβλέπονται για τη συγκεκριμένη περιοχή. Η ύπαρξη μιας βαρυτικής ανωμαλίας στην περιοχή (πχ λόγω της ύπαρξης κάποιου πολύ μεγάλου κενού στο εσωτερικό της γης) θα είχε ως αποτέλεσμα η το διάνυσμα της επιτάχυνσης της βαρύτητας να είναι ελαφρώς περιστραμμένο σε σχέση με εκείνο μιας άλλης περιοχής χωρίς τη βαρυτική ανωμαλία. Δείτε για παράδειγμα το παρακάτω σχήμα. Ο αριστερός ποδηλάτης (σε αντίθεση με το δεξιό) βρίσκεται σε περιοχή βαρυτικής ανωμαλίας και δε χρειάζεται να κάνει πετάλι για να διατηρήσει την ταχύτητά του: η επιτάχυνση της βαρύτητας (και κατά συνέπεια το βάρος του ως δύναμη, πράσινο βέλος) έχει μια οριζόντια συνιστώσα. Έτσι εκείνος βλέπει ότι βρίσκεται στο ίσιωμα αλλά επιταχύνει σα να βρίσκεται σε κατηφόρα.

Ο αριστερός ποδηλάτης βρίσκεται σε περιοχή βαρυτικής ανωμαλίας και μπορεί να επιταχύνει χωρίς να κάνει πετάλι.

Υπάρχει κάποια τέτοια ανωμαλία στην Πεντέλη και μάλιστα τόσο ισχυρή ώστε να μετατρέψει μια ανηφόρα σε κατηφόρα και το αντίστροφο; Η μήπως αυτό που βλέπουμε στις παραπάνω φωτογραφίες είναι μια οπτική απάτη και τελικά ο δρόμος είναι κατηφορικός, έστω και με ελαφρά κλίση; Θα μπορούσε κάποιος να πει το εξής: αφού θέλουμε να δούμε αν ο δρόμος είναι ανηφορικός ή κατηφορικός, ας βάλουμε στο δρόμο ένα αλφάδι και θα το διαπιστώσουμε αμέσως. Αυτή όμως η προσέγγιση είναι λανθασμένη: οποιαδήποτε βαρυτική ανωμαλία θα επηρεάσει και το ίδιο το αλφάδι με αποτέλεσμα να μη μπορέσουμε να καταλήξουμε σε συμπέρασμα. Για παράδειγμα, αν ο δεξιός ποδηλάτης χρησιμοποιούσε αλφάδι θα συμπέραινε ότι βρίσκεται σε ίσιωμα, ενώ ο αριστερός θα συμπέραινε ότι βρίσκεται σε κατηφόρα. Στην πραγματικότητα όμως, είναι και οι δύο στο ίσιωμα αλλά ο αριστερός είναι σε περιοχή βαρυτικής ανωμαλίας.

Για να διαπιστώσουμε αν ο δρόμος είναι ανηφορικός ή κατηφορικός, χρειαζόμαστε λοιπόν έναν τρόπο ο οποίος να μη χρησιμοποιεί τη βαρύτητα για να ορίσει την κατακόρυφη. Μία λύση θα ήταν να χρησιμοποιήσουμε ένα τοπογραφικό GPS με ακρίβεια μικρότερη του μέτρου. Εφ' όσον όμως δε διαθέτουμε κάτι τέτοιο, θα προσπαθήσουμε να δουλέψουμε με ένα απλό πεζοπορικό GPS. Θα χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο επεξεργασίας των δεδομένων που περιγράψαμε αναλυτικά στην προηγούμενη ανάρτηση. Θα αναφέρουμε κι εδώ κάποια βασικά στοιχεία της μεθόδου, αλλά οι λεπτομέρειες βρίσκονται όλες στην προηγούμενη ανάρτηση, στην οποία εφαρμόσαμε (επιτυχώς) τη μέθοδο για να επαληθεύσουμε ότι ένας δρόμος της γειτονιάς μου είναι πραγματικά ανηφορικός (από όσο γνωρίζω στην περιοχή δεν έχουμε βαρυτικές ανωμαλίες...).

Ξεκινάμε από το σημείο που πήραμε τις φωτογραφίες και αφήνουμε να μας πάρει η "ανηφόρα". Η ανάβαση χωρίς πετάλι συνεχίζεται για περίπου 270 μέτρα και σε κάποιο σημείο σταματά. Ο δρόμος κάνει μια δεξιά στροφή και γίνεται πλέον φανερά ανηφορικός. Το σημείο όπου σταματά η χωρίς πετάλι ανάβαση ας το πούμε Α (έχει γεωγραφικό πλάτος φΑ και γεωγραφικό μήκος λΑ). Είναι το σημείο το οποίο σημειώνεται ως ΤΕLOS στον χάρτη του Google Earth που δείξαμε προηγουμένως. Τώρα ξεκινάμε από το Α και πηγαίνουμε στο σημείο όπου πήραμε τις φωτογραφίες (ας το πούμε Β, σημειώνεται ως ΑΡΧΗ στο χάρτη). Μετά επιστρέφουμε στο Α, κάνουμε αναστροφή και πηγαίνουμε ξανά στο Β, και ξανά στο Α... Κάνουμε αυτό το πηγαινέλα 21 φορές συνολικά. Κατά τη διάρκεια της διαδρομής αυτής το GPS καταγράφει τη θέση (γεωγραφικό πλάτος φ και γεωγραφικό μήκος λ) και το υψόμετρο. Αρχικά ας δούμε πως μεταβάλλεται η απόσταση από το σημείο Α. Ως μέτρο της απόστασης χρησιμοποιούμε την ποσότητα:

 Η γραφική παράσταση του d φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Η γραφική παράσταστη δεν είναι κάτι περισσότερο από αυτό που αναμέναμε: η απόσταση από το Α είναι αρχικά ελάχιστη, στη συνέχεια αυξάνεται προς μια μέγιστη τιμή, επιστρέφει στην ελάχιστη κ.ο.κ. για όσες φορές διανύσαμε τη διαδρομή. Η συνάρτηση d(t) έχει μια σχεδόν περιοδικότητα. Ποιά είναι η αντίστοιχη γραφική παράσταση που παίρνουμε για το υψόμετρο h(t); Αυτή φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Μέσα στην καμπύλη αυτή h(t) κρύβεται μια περιοδικότητα όπως εκείνη της γραφικής παράστασης d(t) αλλά είμαι κρυμένη πίσω από ένα "υπόβαθρο" το οποίο συνοδεύει πάντα τις μετρήσεις του υψομέτρου (βλ. την αντίστοιχη ανάρτηση όπου μελετήθηκε το φαινόμενο αυτό). Για να αποκαλύψουμε την κρυμένη αυτή περιοδικότητα και να τη συσχετίσουμε με εκείνη της απόστασης d, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δύο διαδικασίες. O μία διαδικασία είναι να προσεγγίσουμε το υπόβαθρο με μια ομαλοποίηση (smoothing) της καμπύλης h(t). Ο δεύτερη διαδικασία είναι να αναλύσουμε κατά Fourier την h(t) και να αποκόψουμε τις (περισσότερες από τις) συχνότητες που αντιστοιχούν στο υπόβαθρο. Ας δούμε τα αποτελέσματα καθεμιάς διαδικασίας ξεχωριστά.

Διαδικασία 1: Ομαλοποίηση (smoothing) της καμπύλης h(t)
Ένας τρόπος να προσεγγίσουμε το υπόβαθρο της καμπύλης (το ονομάζουμε hB), είναι να την ομαλοποιήσουμε, λαμβάνοντας ως υψόμετρο κάθε σημείου τη μέση τιμή που δίνει ένα πλήθος από γειτονικά σημεία. Το αποτέλεσμα της ομαλοποίησης φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα (είναι η πράσινη καμπύλη).

Θεωρώντας ότι το υπόβαθρο hB(t) προσεγγίζεται από την ομαλοποιημένη (πράσινη) καμπύλη, η διαφορά h(t)-hB(t) είναι το υψόμετρο χωρίς το υπόβαθρο. Η γραφική παράσταση του h(t)-hB(t) (δηλαδή μπλέ καμπύλη μείον πράσινη καμπύλη) φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα.

Τώρα μένει να συσχετίσουμε τις μεταβολές της απόστασης d με το υψόμετρο χωρίς υπόβαθρο h-hB. Ένας απλός τρόπος να το κάνουμε είναι κάνουμε παραστήσουμε τα σημεία d και h-hB στο επίπεδο και να κάνουμε προσαρμογή (fit) με μια ευθεία ελαχίστων τετραγώνων. Τα αποτελέσματα φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα.

Τα αποτελέσματα, οπτικά τουλάχιστο, είναι πολύ καθαρότερα σε σχέση με εκείνα που είχαμε στην προηγούμενη ανάρτηση μελετώντας την κλίση του δρόμου της γειτονιάς μου. Η κλίση της ευθείας είναι αναμφίβολα θετική και υπολογίζεται στην τιμή 1605.72715 με ένα σφάλμα 65.63199. Τι σημαίνει το παραπάνω: όσο αυξάνεται η απόσταση από το σημείο Α (το σημείο που σημειώνεται ως "TELOS" της "βαρυτικής ανηφόρας" στο χάρτη) αυξάνεται το υψόμετρο, δηλαδή το τμήμα του δρόμου που μελετήσαμε είναι ανηφορικό από Πεντέλη προς Νέα Μάκρη και κατηφορικό στην αντίθετη διαδρομή. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει καμία βαρυτική ανωμαλία που να μας ωθεί προς τα πάνω. Αυτό που μας ωθεί είναι η συνιστώσα του βάρους κατά τη διεύθυνση της κίνησής μας σε έναν ελαφρά κατηφορικό δρόμο! Αν υπήρχε βαρυτική ανωμαλία η κλίση της ευθείας θα ήταν αρνητική.

Το αποτέλεσμα του συσχετισμού θέσης d και υψομέτρου h-hB μπορούμε επίσης να το ποσοτικοποιήσουμε υπολογίζοντας το συντελεστή συσχέτισης των δύο αυτών μεγεθών. Το αποτέλεσμα είναι 0.8438. Το θετικό πρόσημο του συντελεστή και η μεγάλη τιμή του (η μέγιστη τιμή του είναι η μονάδα) μας οδηγεί ξανά στο ίδιο συμπέρασμα: απόσταση d και υψόμετρο h-hB είναι θετικά συσχετισμένα, δηλαδή αυξανομένης της απόστασης από το σημείο Α αυξάνεται το υψόμετρο.

Διαδικασία 2: μετασχηματισμός Fourier και ανάλυση συχνοτήτων
Τα αποτελέσματα της διαδικασίας 1 είναι ολοκάθαρα. Παρόλα αυτά, για λόγους πληρότητας, ας εφαρμόσουμε και τη μέθοδο αυτή για να επιβεβαιώσουμε τα αποτελέσματά μας. Αρχικά λοιπόν κάνουμε ένα μετασχηματισμό Fourier στην καμπύλη d(t). Το αποτέλεσμα για το πλάτος φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα.

Η εμφανής κορυφή αντιστοιχεί στη σχεδόν περιοδικότητα της καμπύλης d(t). Οι συχνότητες που αντιστοιχούν στη μεταβολή της καμπύλης d(t) βρίσκονται περίπου μεταξύ των τιμών f1=0.05738 και f2=0.15984. Στη συνέχεια, μετασχηματίζουμε κατά Fourier την καμπύλη του υψομέτρου h(t). Στο μετασχηματισμένο υψόμετρο στο χώρο των συχνοτήτων, κρατάμε μόνο ότι υπάρχει μεταξύ των f1 και f2 και αντιστρέφουμε το μετασχηματισμό. Αυτό που προκύπτει είναι κάτι σαν το h-hB με τη διαφορά ότι ενδέχεται να περιέχει κι άλλες συχνότητες που αντιστοιχούν στο υπόβαθρο. Επειδή όμως το υπόβαθρο είναι καταφανώς μη περιοδικό, θα έχει συνεχές φάσμα και η συνεισφορά του στο επίμαχο διάστημα συχνοτήτων θα είμαι μικρή. Το αποτέλεσμα λοιπόν που παίρνουμε αντιστρέφοντας το μετασχηματισμό (ας το πούμε h1) φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα.

Το σήμα που εικονίζεται παραπάνω μπορούμε να το επεξεργαστούμε όπως το h-hB στην προηγούμενη διαδικασία. Παριστώντας τα σημεία στο επίπεδο d - h1 και κάνοντας προσαρμογή με ευθεία ελαχίστων τετραγώνων παίρνουμε το αποτέλεσμα που εικονίζεται στο ακόλουθο σχήμα.

Τα αποτελέσματα είναι και πάλι καθαρά: η κλίση της ευθείας είναι θετική και επομένως τα μεγέθη d και h1 είναι θετικά συσχετισμένα. Η κλίση υπολογίζεται στην τιμή 1281.19 με ένα σφάλμα 65.29. Το θετικό συσχετισμό των d και h1 μπορούμε να τον διαπιστώσουμε και με τον υπολογισμό του συντελεστή συσχέτισης: αυτός υπολογίζεται στην τιμή 0.7836. Η τιμή αυτή υποδηλώνει έντονο θετικό συσχετισμό των μεγεθών.

Ανακεφαλαιώνοντας λοιπόν καταλήγουμε (με δύο μεθόδους επεξεργασίας του σήματος του GPS) στο ασφαλές συμπέρασμα ότι το τμήμα του δρόμου που μελετήσαμε είναι ανηφορικό από Παλαιά Πεντέλη προς Νέα Μάκρη και κατηφορικό από Νέα Μάκρη προς Πεντέλη. Επομένως, δε υπάρχει καμία βαρυτική ανωμαλία που έχει ως αποτέλεσμα να μας "παίρνει η ανηφόρα" από το σημείο που πήραμε τις φωτογραφίες που φαίνονται στην αρχή της ανάρτησης. Ο δρόμος είναι -έστω και ελαφρά- κατηφορικός και τα μάτια μας μας ξεγελούν. Το φαινόμενο οφείλεται καθαρά σε οπτική απάτη. Για την οπτική απάτη πιθανότατα ευθύνεται η κλίση της πλαγιάς στα δεξιά ή/και διαγράμμιση του δρόμου. Επιπλέον πιθανώς σε αυτό να συμβάλλει και το γεγονός ότι στο τέλος υπάρχει πράγματι ανηφόρα (παρατηρήστε το δρόμο στο βάθος που ανεβαίνει καθώς στρίβει δεξιά) που "προκαταλαμβάνει" τον εγκέφαλό μας, ο οποίος εύκολα μπορεί να εξαπατηθεί, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Δεν είναι καθόλου δύσκολο να εξαπατήσουμε τον εγκέφαλό μας: οι γραμμές είναι παράλληλες αλλά φαίνονται να σχηματίζουν γωνία (πηγή: http://www.scopper.co.uk/optical/pages/lines_gif.htm)

Παρακάτω φαίνονται κάποιες επιπλέον φωτογραφίες από την εξόρμηση που κάναμε για τη λήψη των μετρήσεων.