Πειράματα με ένα GPS, μέρος Ι: ακρίβεια και μέσες τιμές

Στις πλαγιές της Πεντέλης σε υψόμετρο περίπου 700 μ υπάρχει ένας δρόμος που από την κατασκευή του στα τέλη της δεκαετίας του '70 τον ακολουθεί μια φήμη: σε κάποιο τμήμα του μήκους περίπου 100 μέτρων κι ενώ φαίνεται να είναι ανηφορικός, τα οχήματα συμπεριφέρονται ως να ήταν κατηφορικός. Στην ανάρτηση αυτή δε θα αναφερθώ στο συγκεκριμένο φαινόμενο (περισσότερα σε μελλοντικές αναρτήσεις) αλλά θέλοντας να βρω έναν τρόπο να επαληθεύσω ή όχι πειραματικά το φαινόμενο, προέκυψε ένα ερώτημα σχετικά με το κατά πόσο μπορεί κανείς να αυξήσει την ακρίβεια ενός απλού πεζοπορικού GPS παίρνοντας πολλαπλές μετρήσεις.

 Η διαφορά υψομέτρου μεταξύ της αρχής και του τέλους της "ανηφόρας" πρέπει να είναι γύρω στα 4 μέτρα, δηλαδή όση και η μέγιστη δυνατή ακρίβεια ενός πεζοπορικού GPS. Έτσι μετρώντας απλώς μια φορά το υψόμετρο στην αρχή και άλλη μία στο τέλος δε θα μπορέσουμε να καταλήξουμε σε ασφαλές συμπέρασμα για το αν ο δρόμος είναι ανηφορικός ή κατηφορικός. Για να καταλήξω σε ένα πιο ασφαλές συμπέρασμα σκέφτηκα (αφελώς όπως θα δούμε στη συνέχεια) να κάνω το εξής απλοϊκό πείραμα. Πηγαίνω αρχικά στο ξεκίνημα της "ανηφόρας" και παίρνω πολλές μετρήσεις του υψομέτρου με το GPS μου (πχ 10 μετρήσεις) και υπολογίζω μια μέση τιμή και ένα σφάλμα. Μετά πηγαίνω στο τέλος και με πολλαπλές μετρήσεις υπολογίζω κι εκεί μια μέση τιμή και ένα σφάλμα. Αν οι μέσες τιμές απέχουν λιγότερο από το άθροισμα των σφαλμάτων τους, τότε θα μπορούμε να βγάλουμε ένα συμπέρασμα για την κλίση του δρόμου, αν και πάλι όχι απολύτως βέβαιο. Το απλό αυτό πείραμα προϋποθέτει ότι αυξάνοντας τον αριθμό των μετρήσεων που παίρνουμε, μπορούμε να αυξήσουμε την ακρίβεια. Πίσω από αυτό -για τους πιο μαθηματικά σκεπτόμενους αναγνώστες- βρίσκεται η υπόθεση ότι οι μετρήσεις που παίρνουμε με το GPS ακολουθούν κάποια κατανομή πιθανότητας (πχ γκαουσιανή) με μια συγκεκριμένη μέση τιμή.

 Πριν ξεκινήσω για την Πεντέλη με το ποδήλατο και το GPS και πέσω με τα μούτρα στις μετρήσεις, θέλησα να ελέγξω στο σπίτι μου την υπόθεση ότι παίρνοντας πολλές μετρήσεις αυξάνουμε την ακρίβεια. Έτσι έκανα αρχικά το εξής πείραμα: έθεσα σε λειτουργία το GPS (ένα απλό πεζοπορικό Garmin Dakota 10), το ρύθμισα να παίρνει μετρήσεις κάθε 5 δευτερόλεπτά και το άφησα στο μπαλκόνι για περίπου 50 λεπτά. Εκεί, η λήψη δεν ήταν πολύ καλή και λάμβανε από 3-4 δορυφόρους με ακρίβεια 20-25 μέτρα. Το αρχείο XML που προκύπτει από τις μετρήσεις μπορεί κανείς να το μετατρέψει εύκολα σε απλό κείμενο (πχ με το GPS Visualizer ή το GPSBABEL) και στη συνέχεια να εισάγει τα δεδομένα σε ένα πρόγραμμα ανάλυσης όπως το Origin, το Gnuplot ή το SPSS. Τα αποτελέσματα των μετρήσεων γεωγραφικού πλάτους (latitude), γεωγραφικού μήκους (longitude) και υψομέτρου (altitude) φαίνονται με την αυτή σειρά στα ακόλουθα σχήματα.

Από τα σχήματα, και ειδικά από το τελευταίο, καθίσταται προφανές ότι η λήψη πολλαπλών μετρήσεων σε ένα μικρό χρονικό διάστημα δε μπορεί να δώσει αξιόπιστα αποτελέσματα. Για παράδειγμα, σε ότι αφορά το υψόμετρο, τα πρώτα 7 λεπτά, οι μετρήσεις διαφέρουν πολύ λίγο, στη συνέχεια όμως εμφανίζονται μεγάλες διακυμάνσεις οι οποίες εκδηλώνονται σε μεγάλη χρονική κλίμακα: σε 4 λεπτά το υψόμετρο αυξάνεται κατά 4 μέτρα, και στη συνέχεια για ένα διάστημα 30 λεπτών έχουμε μια διαρκή μείωση των 14 μέτρων συνολικά κ.ο.κ. Με άλλα λόγια, οι μετρήσεις παρουσιάζουν συστηματικές διακυμάνσεις μεγάλης χρονικής κλίμακας και δεν ακολουθούν μια κατανομή με σταθερή μέση τιμή όπως είχα αφελώς αρχικά υποθέσει. Για τις μετρήσεις αυτές του υψομέτρου η μέση τιμή είναι 237.32983 και η τυπική απόκλιση 4.39812. Όμως η μέση τιμή παρουσιάζει μεγάλες διακυμάνσεις στο χρόνο και εξαρτάται έντονα από το χρονικό διάστημα το οποίο λαμβάνουμε υπόψη. Στο ακόλουθο σχήμα φαίνεται μαζί με το υψόμετρο και η μέση τιμή του σα συνάρτηση του χρόνου, δηλαδή το ολοκλήρωμα:

Και από το παραπάνω σχήμα φαίνεται καθαρά ότι η μέση τιμή παρουσιάζει μεγάλες διακυμάνσεις και δε δείχνει (τουλάχιστο για το χρονικό διάστημα αυτό) να συγκλίνει σε μια μέση τιμή. Δε μπορούμε λοιπόν να εκτιμήσουμε με ακρίβεια το υψόμετρο, εκτός κι αν θέλουμε (και μπορούμε) να παίρνουμε μετρήσεις για ημέρες.

Το επόμενο που ερώτημα που ήρθε στο μυαλό μου είναι: τι θα γίνει αν αυξήσουμε το χρόνο καταγραφής; Έτσι, άδειασα όλα τα προηγούμενα δεδομένα του GPS και το άφησα να καταγράφει στο ίδιο σημείο για περισσότερο από 2 ώρες. Τα αποτελέσματα για το υψόμετρο, μαζί με τη μέση τιμή τους, σα συνάρτηση του χρόνου φαίνονται στο ακόλουθο σχήμα:

 Εδώ, εκτός από τη συνεχή μεταβολή της μέσης τιμής, η οποία και πάλι δε δείχνει να συγκλίνει κάπου (τουλάχιστο γι΄ αυτό το χρονικό διάστημα), έχουμε και μια πολύ μεγάλη και απότομη μεταβολή. Αυτή πιθανότατα οφείλεται στο ότι ο δεκτης έχασε τη λήψη από κάποιο δορυφόρο και βρήκε κάποιον άλλο. Για τα δεδομένα αυτά η μέση τιμή είναι 228.18243 με τυπική απόκλιση 8.71644. Παρότι θεωρήσαμε μεγαλύτερο χρόνο από το πρώτο πείραμα, η μέση τιμή μας διαφέρει κατά 10 ολόκληρα μέτρα (μιλάμε πάντα για το ίδιο σημείο στο μπαλκόνι) ενώ η τυπική απόκλιση είναι σχεδόν διπλάσια! Και πάλι λοιπόν βλέπουμε ότι η αύξηση του χρόνου παρατήρησης δε μπορεί να μας οδηγήσει σε συγκεκριμενα συμπεράσματα.

Το επόμενο, και τελευταίο, πείραμα που σκέφτηκα είναι το εξής: να αυξήσω ακόμα περισσότερο το χρόνο παρατήρησης και ταυτόχρονα και την ακρίβεια τοποθετώντας το δέκτη σε σημείο με καλύτερη λήψη. Έτσι, καθάρισα πάλι όλα τα δεδομένα του GPS και το έβγαλα να διανυκτερεύσει στην ταράτσα. Εκεί η λήψη ήταν πολύ καλύτερη από ότι στο μπαλκόνι και η ακρίβεια ήταν η μέγιστη δυνατή για τη συσκευή: 4 με 5 μέτρα. Ας εστιάσουμε στο υψόμετρο, του οποίου η γραφική παράσταση (μαζί με τη μέση τιμή) φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα.

Ακόμα και γι΄αυτό το χρονικό διάστημα των 11 ωρών, η μέση τιμή δε δείχνει να συγκλίνει κάπου, ενώ παρά την καλύτερη λήψη, υπάρχουν διακυμάνσεις της τάξης των 5 μέτρων σε χρονικές κλίμακες 1.5-2 ωρών. Επιπλέον, την πρώτη ώρα υπάρχει μια συνεχής αύξηση ακολουθούμενη από μια πτώση, κάτι που μας "χαλάει" από την αρχή τη μέση τιμή. Για τα δεδομένα αυτά η μέση τιμή είναι 220.22787 και η τυπική απόκλιση 3.78394. Η τελευταία, ως αναμένονταν, είναι αρκετά μικρότερη από εκείνη των πειραμάτων στο μπαλκόνι λόγω της αυξημένης ακρίβειας του GPS. Όμως, παρότι η ταράτσα είναι περίπου 10 μέτρα ψηλότερα από το μπαλκόνι, η μέση τιμή του υψομέτρου που υπολογίσαμε γι΄ αυτή είναι η χαμηλότερη και από τις τρεις!

Συμπέρασμα: αν θέλουμε να εκτιμήσουμε την (μικρή) υψομετρική διαφορά μεταξύ δύο σημείων, το να πάρουμε πολλαπλές μετρήσεις με το GPS δε μας οδηγεί σε κάποιο συμπέρασμα, ακόμα κι αν οι μετρήσεις είναι χιλιάδες και διαρκούν πολλές ώρες. Η "βαρυτική ανηφόρα" της Πεντέλης θα περιμένει να σκεφτούμε κάποια λιγότερο αφελή μέθοδο ή να μας βοηθήσει κάποιος τοπογράφος που διαθέτει GPS με ακρίβεια μικρότερη του μέτρου. Κάθε προσφορά βοήθειας δεκτή...